Séance TD-1 : Signaux & Spectres

Exercice 1 :

Propriétés TF

Propriétés générales T.F.

\[\begin{align*} \small ax(t)+by(t) & \small \rightleftharpoons aX(f)+bY(f) \\ \small x(t-t_{0}) & \small \rightleftharpoons X(f)e^{-i 2 \pi f t_{0}} \\ \small x(t)e^{+i 2 \pi f_{0} t} & \small \rightleftharpoons X(f-f_{0}) \\ \small x^{\ast }(t)& \small\rightleftharpoons X^{\ast}(-f) \\ \small x(t) y(t)& \small \rightleftharpoons X(f)\ast Y(f) \\ \small x(t)\ast y(t) & \small \rightleftharpoons X(f) Y(f) \\ \small x(at+b) & \small \rightleftharpoons \frac{1}{\left|a\right|}X\left(\frac{f}{a}\right) e^{i2\pi \frac{b}{a}f} \\ \small \frac{dx^{(n)}(t)}{dt^{n}} & \small \rightleftharpoons \left( i2\pi f\right) ^{n}X(f) \\ \small \left( -i2\pi t\right)^{n}x(t) & \small \rightleftharpoons \frac{dX^{(n)}(f)}{df^{n}} \end{align*}\]

Formules Parseval

\[\small \int_{\mathbb{R}}x(t)y^{\ast }(t)dt=\int_{\mathbb{R}}X(f)Y^{\ast}(f)df\]

\[\small \int_{\mathbb{R}}\left| x(t)\right| ^{2}dt=\int_{\mathbb{R}}\left|X(f)\right| ^{2}df\]

Série de Fourier

\[\small \underset{n\in \mathbb{Z}}{\sum }c_{n}e^{+i2\pi nf_{0}t} \rightleftharpoons \underset{n\in \mathbb{Z}}{\sum }c_{n}\delta \left( f-nf_{0}\right) \]

Tables TF

\[\begin{align*} \small 1 & \small \rightleftharpoons \delta \left( f \right)\\ \small \delta \left( t\right) & \small \rightleftharpoons 1 \\ \small e^{+i2\pi f_{0}t}& \small \rightleftharpoons \delta \left( f-f_{0}\right)\\ \small\delta \left( t-t_{0}\right) & \small \rightleftharpoons e^{-i2\pi ft_{0}} \\ \small \amalg \hspace{-0.3cm}\amalg _{T}\left( t\right) & \small\rightleftharpoons \frac{1}{T}\amalg \hspace{-0.3cm}\amalg _{1/T}\left(f\right) \\ \small \cos \left( 2\pi f_{0}t\right) & \small \rightleftharpoons \frac{1}{2}\left(\delta \left( f-f_{0}\right) +\delta \left( f+f_{0}\right) \right) \\ \small \sin \left( 2\pi f_{0}t\right) & \small \rightleftharpoons \frac{1}{2i}\left( \delta \left( f-f_{0}\right)-\delta \left( f+f_{0}\right) \right)\\ \small e^{-a\left| t\right| } & \small \rightleftharpoons \frac{2a}{a^{2}+4\pi ^{2}f^{2}} \\ \small e^{-\pi t^{2}} & \small \rightleftharpoons e^{-\pi f^{2}} \\ \small \Pi _{T}\left( t\right) & \small \rightleftharpoons T \mathrm{sinc}\left( \pi Tf\right) \\ \small \Lambda _{T}\left( t\right) & \small \rightleftharpoons T \mathrm{sinc}^{2}\left( \pi Tf\right) \\ \small B \mathrm{ sinc}\left( \pi Bt\right) & \small \rightleftharpoons \Pi _{B}\left( f\right) \\ \small B \mathrm{ sinc}^{2}\left( \pi Bt\right) & \small \rightleftharpoons \Lambda _{B}\left( f\right) \\ \end{align*}\]

où

\[\small \amalg \hspace{-0.3cm}\amalg _{T}\left( t\right) = \underset{k\in \mathbb{Z}}{\sum } \delta \left( t-kT\right)\]

\[\small \mathrm{sinc}\left( \pi Tf\right)=\frac{\sin \left( \pi Tf\right) }{\pi T f}\]

Etude du secteur

On considère dans cet exercice différents modèles du secteur et on étudie la densité spectrale de puissance des signaux obtenus à l’aide de ces modèles.

1. Dans une première approche, on utilise le modèle :

   \[ X\left( t\right) =A_{0}\cos \left( 2\pi f_0t\right) \]

   où \(f_{0}=50Hz\) et \(A_{0}=220\sqrt{2}V\).

   Préciser la classe à laquelle appartient le signal \(X(t)\) puis déterminer sa fonction d’autocorrélation \(R_X(\tau)\) et sa densité spectrale de puissance \(S_X(f)\).

   Solution

   • Le signal est déterministe à puissance moyenne finie périodique : en notant \(T_0=\frac{1}{f_0}\), on a

   \[\begin{align*} P&=\frac{1}{T_0}\int_{T_0} \left|X(t)\right|^2 dt\\ &=\frac{1}{T_0}\int_{T_0} A_0^2 \cos^2\left(2 \pi f_0 t\right) dt\\ &=\frac{A_0^2}{T_0}\int_{T_0} \frac{1}{2} \left\{1+\cos\left(4 \pi f_0 t\right)\right\} dt\\ &=\frac{A_0^2}{2}<\infty \end{align*}\]

   • Sa fonction d’autocorrélation est donc donnée par :

   \[\begin{align*} R_X(\tau)&=\frac{1}{T_0}\int_{T_0} X(t) X^*(t-\tau) dt \\ &=\frac{1}{T_0}\int_{T_0} A_0^2 \cos\left(2 \pi f_0 t\right)\cos\left(2 \pi f_0 (t-\tau)\right) dt\\ &=\frac{A_0^2}{T_0}\int_{T_0} \frac{1}{2} \left\{\cos\left(2 \pi f_0 \tau\right)+\cos\left(4 \pi f_0 t - 2 \pi f_0 \tau\right)\right\} dt\\ &=\frac{A_0^2}{2} \cos\left(2 \pi f_0 \tau\right) \end{align*}\]

   • Sa DSP est donnée par :

   \[\begin{align*} S_X(f)&=TF\left[R_X(\tau)\right]\\ &=\frac{A_0^2}{4} \left\{\delta\left(f- f_0\right)+\delta\left(f+f_0\right)\right\} \end{align*}\]

2. On considère ensuite le modèle suivant :

   \[ X\left( t\right) =A_{0}\cos \left( 2\pi f_{0}t+\theta \right) \]

   \(\theta \) étant une variable aléatoire uniformément répartie sur l’intervalle \(\left[ 0,2\pi \right[ \), \(f_{0}=50Hz\) et \(A_{0}=220\sqrt{2}V\).

   Préciser la classe à laquelle appartient le signal \(X(t)\) puis d’{e}terminer sa moyenne, sa fonction d’autocorrélation \(R_X(\tau)\) et sa densité spectrale de puissance \(S_X(f)\).

   Solution

   • Le signal est aléatoire.

   • Sa moyenne est donc donnée par :

   \[\begin{align*} m_X&=E\left[X(t)\right]=E\left[A_0 \cos\left(2 \pi f_0 t+\theta\right)\right]\\ &=A_0 \int_{0}^{2 \pi} \cos\left(2 \pi f_0 t+\theta\right)\times\frac{1}{2\pi} d\theta\\ &=0 \end{align*}\]

   • Sa fonction d’autocorrélation est donc donnée par :

   \[\begin{align*} R_X(\tau)&=E\left[X(t)X^*(t-\tau)\right]\\ &=E\left[A_0^2 \cos\left(2 \pi f_0 t+\theta\right)\cos\left(2\pi f_0 (t-\tau)+\theta\right)\right]\\ &=\frac{A_0^2}{2}E\left[ \cos\left(2 \pi f_0 \tau\right)+\cos\left(4 \pi f_0 t-2 \pi f_0 \tau +2\theta\right)\right]\\ &=\frac{A_0^2}{2}\cos\left(2 \pi f_0 \tau\right) \end{align*}\]

   • Le signal est stationnaire au second ordre car sa moyenne et sa fonction d’autocorrélation sont indépendantes du temps.

   • Sa DSP est donnée par :

   \[ S_X(f)=TF\left[R_X(\tau)\right]=\frac{A_0^2}{4} \left\{\delta\left(f- f_0\right)+\delta\left(f+f_0\right)\right\} \]

3. La fréquence du courant électrique n’est jamais exactement \(f_{0}=50Hz\). Afin de modéliser les variations en fréquence, on considère le modèle :

   \[ X\left( t\right) =A_{0}\cos \left( 2\pi ft+\theta \right) \]

   \(f\) étant une variable uniformément répartie sur l’intervalle \( \left[ f_{0}-\Delta f,f_{0}+\Delta f\right] \) indépendante de \(\theta \). Calculer alors la moyenne, la fonction d’autocorrélation et la densité spectrale de puissance de \(X\left( t\right) \).

   Solution

   • Le signal est aléatoire.

   • Sa moyenne est donc donnée par :

   \[\begin{align*} m_X &=E\left[X(t)\right]=E_{f,\theta}\left[A_0 \cos\left(2 \pi f t+\theta\right)\right]\\ &=E_{f}\left[E_{\theta}\left[A_0 \cos\left(2 \pi f t+\theta\right) | f\right]\right]\\ &=E_{f}\left[0\right]=0 \end{align*}\]

   • Sa fonction d’autocorrélation est donc donnée par :

   \[\begin{align*} R_X(\tau)&=E\left[X(t)X^*(t-\tau)\right]\\ &=E_{f}\left[E_{\theta}\left[A_0^2 \cos\left(2 \pi f t+\theta\right)\cos\left(2 \pi f (t-\tau)+\theta\right)| f\right]\right]\\ &=E_{f}\left[\frac{A_0^2}{2}\cos\left(2 \pi f \tau\right)\right]\\ &=\frac{A_0^2}{2} \int_{f_{0}-\Delta f}^{f_{0}+\Delta f}\cos\left(2 \pi f \tau\right)\times\frac{1}{2 \Delta f} df\\ &=\frac{A_0^2}{4 \Delta f} \left[\frac{\sin\left(2 \pi f \tau\right)}{2 \pi \tau}\right]_{f_{0}-\Delta f}^{f_{0}+\Delta f}\\ &=\frac{A_0^2}{8 \pi \tau \Delta f} \left\{\sin\left(2 \pi (f_{0}+\Delta f) \tau\right)-\sin\left(2 \pi (f_{0}-\Delta f) \tau\right)\right\}\\ &=\frac{A_0^2}{4 \pi \tau \Delta f} \sin\left(2 \pi \Delta f \tau\right) \cos\left(2 \pi f_{0}\tau\right)\\ &=\frac{A_0^2}{2} sinc\left(2 \pi \Delta f \tau\right) \cos\left(2 \pi f_{0}\tau\right) \end{align*}\]

   • Le signal est stationnaire au second ordre car sa moyenne et sa fonction d’autocorrélation sont indépendantes du temps.

   • Sa DSP est donnée par :

   \[\begin{align*} S_X(f)=TF\left[R_X(\tau)\right]&=\frac{A_0^2}{2} \frac{1}{2 \Delta f} \prod_{2 \Delta f}(f) \ast \frac{1}{2}\left\{\delta\left(f- f_0\right)+\delta\left(f+f_0\right)\right\}\\ &=\frac{A_0^2}{8\Delta f} \left\{\prod_{2 \Delta f}\left(f- f_0\right)+\prod_{2 \Delta f}\left(f+f_0\right)\right\} \end{align*}\]

Exercice 2 :

Modulation d’amplitude

Soit \(A(t)\) un signal aléatoire stationnaire, réel, de fonction d’autocorrélation \(R_A(\tau)\) et de densité spectrale de puissance \(S_A(f)\) définie par :

\[\begin{split} S_A(f)=\left\{ \begin{array}{ll} \alpha, & \hbox{si $\; |f|\leq F$} \\ 0, & \hbox{sinon.} \end{array} \right. \end{split}\]

On considère le signal \(X(t)=A(t) \cos\left(2 \pi f_0 t + \theta \right)\), avec \(F\ll f_0\) et \(\theta \) une variable aléatoire uniformément répartie sur l’intervalle \(\left[ 0,2\pi \right[\) indépendante de \(A(t)\).

1. Montrer que \(X(t)\) est un signal aléatoire stationnaire. Déterminer et représenter graphiquement sa densité spectrale de puissance.

   Solution

   • Le signal est aléatoire. Pour montrer qu’il est stationnaire il faut montrer que \(m_X\) et \(R_X\) sont indépendantes du temps.

   • Sa moyenne est donnée par :

   \[m_X=E\left[X(t)\right]=E\left[A(t) \cos\left(2 \pi f_0 t+\theta\right)\right]=E\left[A(t)\right] E\left[\cos\left(2 \pi f_0 t+\theta\right)\right]\]

   car \(A\) et \(\theta\) sont indépendantes. D’où \(m_X=0\).

   • Sa fonction d’autocorrélation est donnée par :

   \[\begin{align*} R_X(\tau)&=E\left[X(t)X^*(t-\tau)\right]\\ &=E\left[A(t) \cos\left(2 \pi f_0 t+\theta\right) A^*(t-\tau) \cos\left(2 \pi f_0 (t-\tau)+\theta\right)\right]\\ &=E\left[A(t)A^*(t-\tau)\right] E\left[\cos\left(2 \pi f_0 t+\theta\right) \cos\left(2 \pi f_0 (t-\tau)+\theta\right)\right]\\ &=R_A(\tau) \times \frac{1}{2} \cos\left(2 \pi f_0 \tau\right) \end{align*}\]

   • Le signal est bien stationnaire (au second ordre) car sa moyenne et sa fonction d’autocorrélation sont indépendantes du temps.

   • Sa DSP est donnée par

   \[\begin{align*} S_X(f)&=TF\left[R_X(\tau)\right]\\ &=S_A(f) \ast \frac{1}{4} \left\{\delta\left(f- f_0\right)+\delta\left(f+f_0\right)\right\}\\ &=\frac{1}{4} \left\{S_A\left(f- f_0\right)+S_A\left(f+f_0\right)\right\} \end{align*}\]

2. Afin de retrouver le signal \(A(t)\) à partir de \(X(t)\), on construit le signal

   \[Y(t)=X(t) \cos\left(2 \pi f_0 t + \theta \right).\]

   a. Déterminer et tracer la densité spectrale de puissance de \(Y(t)\).

   Solution

   \[\begin{align*} R_Y(\tau)&=E\left[Y(t)Y^*(t-\tau)\right]\\ &=E\left[X(t) \cos\left(2 \pi f_0 t+\theta\right) X^*(t-\tau) \cos\left(2 \pi f_0 (t-\tau)+\theta\right)\right] \end{align*}\]

   Attention ici \(X(t)\) et le cosinus ne sont pas indépendants, tous deux dépendent de \(\theta\). D’où

   \[\begin{align*} R_Y(\tau)&=E\left[A(t) \cos^2\left(2 \pi f_0 t+\theta\right) A^*(t-\tau) \cos^2\left(2 \pi f_0 (t-\tau)+\theta\right)\right]\\ &=R_A(\tau) \times E\left[\frac{1+\cos\left(4 \pi f_0 t+2\theta\right)}{2} \frac{1+\cos\left(4 \pi f_0 (t-\tau)+2\theta\right) }{2} \right]\\ &=\frac{1}{4}R_A(\tau)E\left[1+\cos\left(2\theta+...\right)+\cos\left(2\theta+...\right)+\frac{1}{2}\left\{\cos\left(4 \pi f_0 \tau \right)+\cos\left(4 \theta + ...\right)\right\}\right]\\ &=\frac{1}{4}R_A(\tau)\left\{1+\frac{1}{2}\cos\left(4 \pi f_0 \tau\right)\right\} \end{align*}\]

   \[\begin{align*} S_Y(f)&=TF\left[R_Y(\tau)\right]=\frac{1}{4} S_A(f) \ast \left\{ \delta(f) + \frac{1}{4} \left\{\delta\left(f- 2f_0\right)+\delta\left(f+2f_0\right)\right\}\right\}\\ &=\frac{1}{4} S_A(f) + \frac{1}{16} \left\{S_A\left(f- 2f_0\right)+S_A\left(f+2f_0\right)\right\} \end{align*}\]

   b. Quel traitement doit-on utiliser pour retrouver \(A(t)\) à partir de \(Y(t)\) ?

   Solution

   Il faudra utiliser un filtre passe-bas pour conserver uniquement la partie \(\frac{1}{4} S_A(f)\) et couper la partie qui se trouve autour de \(2f_0\).