Séance TD-3 : Echantilonnage

Exercice 1 :

Propriétés TF

Propriétés générales T.F.

\[\begin{align*} \small ax(t)+by(t) & \small \rightleftharpoons aX(f)+bY(f) \\ \small x(t-t_{0}) & \small \rightleftharpoons X(f)e^{-i 2 \pi f t_{0}} \\ \small x(t)e^{+i 2 \pi f_{0} t} & \small \rightleftharpoons X(f-f_{0}) \\ \small x^{\ast }(t)& \small\rightleftharpoons X^{\ast}(-f) \\ \small x(t) y(t)& \small \rightleftharpoons X(f)\ast Y(f) \\ \small x(t)\ast y(t) & \small \rightleftharpoons X(f) Y(f) \\ \small x(at+b) & \small \rightleftharpoons \frac{1}{\left|a\right|}X\left(\frac{f}{a}\right) e^{i2\pi \frac{b}{a}f} \\ \small \frac{dx^{(n)}(t)}{dt^{n}} & \small \rightleftharpoons \left( i2\pi f\right) ^{n}X(f) \\ \small \left( -i2\pi t\right)^{n}x(t) & \small \rightleftharpoons \frac{dX^{(n)}(f)}{df^{n}} \end{align*}\]

Formules Parseval

\[\small\int_{\mathbb{R}}x(t)y^{\ast }(t)dt=\int_{\mathbb{R}}X(f)Y^{\ast }(f)df\]

\[\small\int_{\mathbb{R}}\left| x(t)\right| ^{2}dt=\int_{\mathbb{R}}\left|X(f)\right| ^{2}df\]

Série de Fourier

\[\small\underset{n\in \mathbb{Z}}{\sum }c_{n}e^{+i2\pi nf_{0}t} \rightleftharpoons \underset{n\in \mathbb{Z}}{\sum }c_{n}\delta \left( f-nf_{0}\right) \]

Tables TF

\[\begin{align*} \small 1 & \small \rightleftharpoons \delta \left( f \right)\\ \small \delta \left( t\right) & \small \rightleftharpoons 1 \\ \small e^{+i2\pi f_{0}t}& \small \rightleftharpoons \delta \left( f-f_{0}\right)\\ \small\delta \left( t-t_{0}\right) & \small \rightleftharpoons e^{-i2\pi ft_{0}} \\ \small \amalg \hspace{-0.3cm}\amalg _{T}\left( t\right) & \small\rightleftharpoons \frac{1}{T}\amalg \hspace{-0.3cm}\amalg _{1/T}\left(f\right) \\ \small \cos \left( 2\pi f_{0}t\right) & \small \rightleftharpoons \frac{1}{2}\left(\delta \left( f-f_{0}\right) +\delta \left( f+f_{0}\right) \right) \\ \small \sin \left( 2\pi f_{0}t\right) & \small \rightleftharpoons \frac{1}{2i}\left( \delta \left( f-f_{0}\right)-\delta \left( f+f_{0}\right) \right)\\ \small e^{-a\left| t\right| } & \small \rightleftharpoons \frac{2a}{a^{2}+4\pi ^{2}f^{2}} \\ \small e^{-\pi t^{2}} & \small \rightleftharpoons e^{-\pi f^{2}} \\ \small \Pi _{T}\left( t\right) & \small \rightleftharpoons T \mathrm{sinc}\left( \pi Tf\right) \\ \small \Lambda _{T}\left( t\right) & \small \rightleftharpoons T \mathrm{sinc}^{2}\left( \pi Tf\right) \\ \small B \mathrm{ sinc}\left( \pi Bt\right) & \small \rightleftharpoons \Pi _{B}\left( f\right) \\ \small B \mathrm{ sinc}^{2}\left( \pi Bt\right) & \small \rightleftharpoons \Lambda _{B}\left( f\right) \\ \end{align*}\]

où

\[\small \amalg \hspace{-0.3cm}\amalg _{T}\left( t\right) = \underset{k\in \mathbb{Z}}{\sum } \delta \left( t-kT\right)\]

\[\small \mathrm{sinc}\left( \pi Tf\right)=\frac{\sin \left( \pi Tf\right) }{\pi T f}\]

Effet de l’échantillonnage

Soit le signal suivant : \(x(t)=\cos(2 \pi f_0 t), \; f_0=10\) kHz.

1. Tracer la transformée de Fourier de \(x(t)\): \(X(f)\).

   Solution

   La transformée de Fourier de \(x(t)\), \(X(f)\), est tracée sur la figure suivante.

   

2. Est-il possible d’échantillonner \(x(t)\) sans perte d’information ? Si oui à quelle condition ?

   Solution

   Il est possible d’échantillonner \(x(t)\) sans perte d’information en utilisant une fréquence d’échantillonnage

   \[F_e>2f_0=20 \text{ kHz (respect de la condition de Shannon)}\]

3. Tracer, entre \(0\) et \(F_e\), la transformée de Fourier de \(x(t)\) échantillonné à \(T_e=1/F_e\) quand :

   a. \(F_e=30\) kHz.

   b. \(F_e=8\) kHz.

   Solution

   La transformée de Fourier de \(x(t)\), échantillonné à \(T_e=1/F_e\), est tracée entre \(0\) et \(F_e\) sur les figures suivantes quand \(F_e=30\) kHz et quand \(F_e=8\) kHz.

   

4. A partir des échantillons nous souhaitons reconstruire \(x(t)\) par filtrage passe-bas à \(F_e/2\). Quels seront les signaux obtenus pour chaque fréquence d’échantillonnage précédente ?

   Solution

   Par filtrage passe-bas à \(F_e/2\), nous obtenons

   \[x(t)=\cos(2 \pi f_0 t), \text{ avec} f_0=10 \text{ kHz pour } F_e=30 \text{ kHz}\]

   \[x(t)=\cos(2 \pi f_1 t), \text{ avec} f_1=2 \text{ kHz pour } F_e=8 \text{ kHz}\]

Exercice 2 :

Echantillonneur moyenneur

L’échantillonneur moyenneur est une méthode pratique d’échantillonnage qui consiste à calculer, toutes les \(T_e\) secondes (période d’échantillonnage), la valeur moyenne du signal pendant un intervalle de temps \(\theta \) (\(\theta <<T_e\)) et à affecter cette valeur moyenne à l’échantillon discrétisé :

\[\begin{eqnarray*} y\left( kT_e\right) &=&\frac{1}{\theta }\int_{kT_e-\theta }^{kT}x(u)du \\ x_{ech}(t) &=&\sum_k y\left( kT_e\right) \delta \left( t-kT_e\right) \end{eqnarray*}\]

1. Démontrer que le signal échantillonné \(x_{ech}(t)\) peut se mettre sous la forme :

   \[ x_{ech}(t)=\frac{1}{\theta }\left[ \Pi _{\theta }\left( t\right) \ast x\left( t-\frac{\theta }{2}\right) \right] .\amalg \hspace{-0.3cm}\amalg_{T_e}\left( t\right) \]

   où \(\Pi _{\theta }\left( t\right) \) et \(\amalg \hspace{-0.3cm}\amalg_{T_e}\left( t\right) \) représentent respectivement la fenêtre rectangulaire de largeur \(\theta\) et le peigne de Dirac de période \(T_e\).

   Solution

   \[x_{ech}(t)=\sum_k y\left( kT_e\right) \delta \left( t-kT_e\right)= y(t) \sum_k \delta \left( t-kT_e\right)=y(t) .\amalg \hspace{-0.3cm}\amalg_{T_e}\left( t\right)\]

   Reste à montrer que

   \[y(t)=\frac{1}{\theta }\left[ \Pi _{\theta }\left( t\right) \ast x\left( t-\frac{\theta }{2}\right) \right],\]

   que l’on obtient de la manière suivante

   \[\begin{align*} y(t)&=\frac{1}{\theta }\int_{t-\theta }^{t}x(u)du\\ &=\frac{1}{\theta}\int_{-\infty }^{+\infty}x(u) \times \Pi_{\theta}\left(u-\left(t-\frac{\theta}{2}\right)\right) du\\ &=\frac{1}{\theta}\int_{-\infty }^{+\infty}x(u) \times \Pi_{\theta}\left(\left(t-\frac{\theta}{2}\right)-u\right) du\\ &=\frac{1}{\theta }\left(x \ast \Pi_{\theta}\right)\left(t-\frac{\theta}{2}\right) \end{align*}\]

2. En déduire la transformée de Fourier correspondante \(X_{ech}\left( f\right) \).

   Solution

   \[\begin{align*} X_{ech}(f)&= Y(f) \ast \frac{1}{T_e} \amalg \hspace{-0.3cm}\amalg_{1/T_e}\left( f\right)\\ &=\frac{1}{T_e}\sum_k Y\left( f-\frac{k}{T_e}\right), \text{ avec } Y(f)=sinc(\pi f \theta) X(f) e^{-j \pi f \theta} \end{align*}\]

3. En considérant un signal à support spectral borné \(2\Delta f\) et en prenant en compte que la fonction \(sinc(\pi \theta f)\) peut être supposée constante sur l’intervalle \(\left[ -\frac{1}{3\theta },\frac{1}{3\theta }\right] \)

   \[ sinc(\pi \theta f)=\frac{\sin (\pi \theta f)}{\pi \theta f}\approx 1 \; \text{pour }f\in \left[ -\frac{1}{3\theta },\frac{1}{3\theta }\right] \]

   a. quelle(s) condition(s) doit vérifier \(\theta \) pour que le signal \(x(t)\) puisse être restitué par filtrage de \(x_{ech}(t)\) ?

   Solution

   Il faut que \(\Delta f \leq \frac{1}{3\theta} \Leftrightarrow \theta \leq \frac{1}{3\Delta f}\)

   b. Dans ces conditions peut-on échantillonner à la fréquence de Shannon ?

   Solution

   Après filtrage antialiasing on pourra prendre \(F_e\) tel que \(\Delta f < \frac{F_e}{2}=\frac{1}{2T_e} \Leftrightarrow T_e< \frac{1}{2\Delta f}\)

Exercice 3 :

Echantillonnage d’un signal à spectre non borné

Soit le signal \(x(t)\) défini par :

\[\begin{split} x(t) = \left\{ \begin{array}{rl} e^{-at} & \mbox{si } t\geq 0, a>0\\ 0 & \mbox{si } t<0. \\ \end{array} \right. \; \end{split}\]

1. Déterminer la transformée de Fourier \(X(f)\) du signal \(x(t)\). Tracer \(\left|X(f)\right|\).

   Solution

   \[X(f)=\int_{0}^{+\infty} e^{-(a+j 2 \pi f)t} dt=\frac{1}{a+j 2 \pi f}\]

   \[\left|X(f)\right|=\frac{1}{\sqrt{a^2+ 4 \pi^2 f^2}}\]

2. Le signal \(x(t)\) est-il échantillonnable sans perte d’information ? Expliquez votre réponse.

   Solution

   Non car le spectre n’est pas borné. Il n’est donc pas possible d’appliquer la condition de Shannon.

3. En considérant la transformée de Fourier comme négligeable pour une atténuation minimale de \(40\) dB par rapport à sa valeur maximum, dimensionner la fréquence d’échantillonnage, \(F_e\), à utiliser.

   Solution

   On a le maximum du spectre pour \(f=0\). On souhaite donc trouver \(F_{max}\) telle que :

   \[10 \log_{10}\left|X(F_{max})\right|^2 \leq 10 \log_{10}\left|X(0)\right|^2-10 \log_{10}\left(10^4\right)=10 \log_{10} \frac{\left|X(0)\right|^2}{10^4}\]

   D’où

   \[\frac{1}{\sqrt{a^2+ 4 \pi^2 F_{max}^2}}\leq \frac{1}{10^4 a^2}\]

   et donc

   \[F_{max}^2\geq \frac{\left(10^4-1\right) a^2}{4 \pi^2}\]

   Soit, en négligeant \(1\) devant \(10^4\) :

   \[F_{max}\geq \frac{100 a}{2 \pi} \text{ et donc } F_e\geq \frac{100 a}{\pi}\]

4. Une fois \(F_e\) déterminée, quel traitement doit-on appliquer au signal avant de l’échantillonner ?

   Solution

   Un filtre anti repliement afin de tronquer le spectre du signal à \(F_{max}\).