1.7. Théorème du codage canal

Theorem 1.1

Pour un canal à temps discret, il est possible de transmettre de l’information avec une probabilité d’erreur arbitrairement faible si le débit de communication \(R\) est inférieur à la capacité du canal, i.e. \(R < C\).

Plus précisément, pour tout \(R < C\), il existe une séquence de schémas de codage de longueur \(N\) de probabilité d’erreur moyenne \(P_e^(N)\) tendant vers zéro quand \(N \longmapsto +\infty\)

Inversement, toute séquence de schémas de codage avec une probabilité d’erreur tendant veers zéro doit vérifier \(R<C.\) Si \(R>C,\) la probabilité d’erreur est forcément non nulle.

La capacité représente donc la quantité d’informations qui peut être transmise de manière fiable à travers un canal par utilisation de canal. Pour \(R>C,\) aucune communications fiable, sans erreur n’est possible.

Dans le cas d’un canal AWGN, on aura quelques remarques intéressantes à faire sur cette relation. Par le théorème précédent, on aura

\[\begin{split}\begin{aligned} R &< C_{AWGN} \\ &= \log_2(1+\frac{E_s}{2\sigma^2})\\ &= \log_2(1+\frac{E_s}{N_0})\\ &= \log_2(1 + R \frac{E_b}{N_0}) \end{aligned}\end{split}\]

où \(E_b\) est l’énergie par bit utile/d’information. On a alors

\[\frac{E_{b}}{N_{0}}>\frac{2^{R}-1}{R} \underset{R \to 0}{\longrightarrow} \ln(2)=-1.59 dB\]