1.1. Espaces fonctionnels d’intérêt

Dans le cas déterministe, on s’intéressera ici à des signaux \(x(t), t\in \mathbb{R},\) qui sont des fonctions dîtes à temps continu et à valeur dans \(\mathbb{R}\) ou plus généralement \(\mathbb{C}.\) Muni des opérations usuelles d’addition et de multiplication par un scalaire, cet ensemble de fonctions définit un espace vectoriel noté

\[\mathbb{C}^{\mathbb{R}}=\{x \mid x(t) \in \mathbb{C}, t \in \mathbb{R}\}.\]

Parmi les sous-espaces vectoriels d’intérêt, on aura l’espace vectoriel normé \(\mathcal{L}_{2}(\mathbb{R})\) qui est l’espace des fonctions de carré intégrable qui correspondra aux signaux à énergie finie. On le notera

\[\mathcal{L}^{2}(\mathbb{R})\triangleq \left\{ x: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}| \int | x(t) |^{2} dt <\infty \right\}.\]

Le produit scalaire associé est donné par

\[\langle x, y\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} x(t) y^{*}(t) d t,\]

où \(^*\) représente l’opérateur de conjugaison complexe, et la norme standard induite est donnée par

\[\|x\|_2=\sqrt{\langle x, x\rangle}=\left(\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^{2} d t\right)^{1 / 2}.\]

D’autres espaces vectoriels normés pourront être d’intérêt, comme par exemple l’espace des fonctions bornées associé à la norme infinie

\[\mathcal{L}_{\infty}(\mathbb{R}) \triangleq \left\{x: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \left| \sup_t \left|x(t)\right| < \infty \right.\right\}.\]

En particulier, appartiennent à cet espace toutes les fonctions \(x(t)\) telles que pour \(M\) fini, on vérifie \(|x(t)| \leq M, \forall t \in \mathbb{R}.\) On aura encore l’espace des fonctions absolument intégrables donné par

\[\mathcal{L}_{1}(\mathbb{R}) \triangleq \left\{x:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}\left|\int_{\mathbb{R}}\left| x(t)\right| d t<\infty \right.\right\}.\]

De manière similaire, pour des signaux périodiques de périodes \(T\), i.e., tels que \(x(t+T)=x(t), \quad t \in \mathbb{R}\), on définira l’espace \(\mathcal{L}_{1}\left(\left[-\frac{T}{2} , \frac{T}{2} \right)\right)\) tel que \(\int_{-T / 2}^{T / 2}|x(t)| d t<\infty,\) et l’espace \(\mathcal{L}_{2}\left(\left[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2} \right)\right),\) tel que \(\int_{-T / 2}^{T / 2}|x(t)|^{2} d t<\infty.\)