2.3. Signaux déterministes non périodiques à puissance finie

La dernière classe de signaux déterministes est la classe des signaux déterministes non périodiques à puissance finie.

Definition 2.7 (Signaux déterministes non prériodiques à puissance finie.)

Un signal est dît déterministe non périodique à puissance finie si il vérifie

\[P=\lim\limits_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{ \frac{T}{2}} |x(t)|^2dt < \infty.\]

On remarquera que si \(x(t)\) est a énergie finie, alors sa puissance est nulle. Ces signaux admettent le produit scalaire

\[\langle u(t), v(t) \rangle = \lim\limits_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{ \frac{T}{2}} u(t) v^*(t) dt.\]

En se basant sur le produit scalaire précédent, on obtient les définitions suivantes

Definition 2.8

• Fonction d’autocorrélation :

  \[R_x(\tau)=\langle x(t), x(t-\tau) \rangle = \lim\limits_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{ \frac{T}{2}} x(t)x^*(t-\tau) dt,\]

• Fonction d’intercorrélation :

  \[R_{xy}(\tau) = \langle x(t), y(t-\tau) \rangle = \lim\limits_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{ \frac{T}{2}} x(t) y^*(t-\tau) dt\]

• Densité spectrale de puissance :

  \[s_x(f) = \textrm{TF}[R_x(\tau)] = \int_{\mathbb{R}} R_x(\tau) \exp \left(-j 2 \pi f \tau \right) d\tau.\]

On peut alors montrer la relation suivante

\[s_x(f)= {\underset{T \rightarrow \infty }{\lim }} \frac{1}{T} \left|X_T(f) \right|^2\]

avec

\[X_T(f)= \int_{-T/2}^{T/2} x(t) \exp(-j 2 \pi f t)dt\]

qui montre que la densité spectrale de puissance d’un signal déterministe non périodique à puissance finie est toujours positive et est homogène au module carré d’une transformée de Fourier.

Example 2.2

Un exemple classique de signal déterministe non périodique à puissance finie est le signal constant

\[x(t)=A, \forall t \in \mathbb{R}\]

avec \(A \in \mathbb{R}\). Ce signal est de puissance \(P=A^2\) de fonction d’autocorrélation

\[R_x(\tau)=A^2\]

et de densité spectrale de puissance

\[s_x(f)=A^2 \delta(f).\]