1.3. Transformée de Fourier

On rappelle ici les principales propriétés associées à la représentation fréquentielle des signaux. Voir cours Fourier et Intégration pour plus de détails quant aux dérivations et démonstrations.

1.3.1. Définitions

On considère des fonctions appartenant à \(\mathcal{L}_2(\mathbb{R})\) ou \(\mathcal{L}_1(\mathbb{R})\).

Definition 1.2 (Transformée de Fourier)

La transformée de Fourier de \(x(t)\) est donnée par

\[X(f)=\mathrm{TF}[x(t)]=\int_{\mathbb{R}} x(t) \exp (-j 2 \pi f t) dt\]

Definition 1.3 (Transformée de Fourier inverse)

La transformée inverse est elle donnée par

\[x(t)=\mathrm{TF}^{-1}[X(f)] =\int_{\mathbb{R}} X(f) \exp (+j 2 \pi f t) df\]

1.3.2. Propriétés

Les principales propriétés sont

• Linéarité :

  \[\operatorname{TF}[a x(t)+b y(t)]=a X(f)+b Y(f)\]

• Parité :

  \[ x(t) \text{ réelle paire} \Rightarrow X(f) \text{ réelle paire} \]

• Translation et Modulation :

  \[\begin{split}\begin{array}{l} \text { TF }\left[x\left(t-t_{0}\right)\right]=\exp \left(-j 2 \pi f t_{0}\right) X(f) \\ \text { TF }\left[x(t) \exp \left(j 2 \pi f_{0} t\right)\right]=X\left(f-f_{0}\right) \end{array}\end{split}\]

  Ces propriétés sont beaucoup utilisées en télécommunications.

• Similitude :

  \[\operatorname{TF}[x(a t)]=\frac{1}{|a|} X\left(\frac{f}{a}\right)\]

• Produit de convolution :

  \[\begin{split}\begin{array}{l} \operatorname{TF}[x(t) * y(t)]=X(f) Y(f) \\ \operatorname{TF}[x(t) y(t)]=X(f) * Y(f) \end{array}\end{split}\]

• Egalité de Parseval :

  \[\int_{\mathbb{R}} x(t) y^{*}(t) d t=\int_{\mathbb{R}} X(f) Y^{*}(f) d f\]

  En particulier, pour les signaux pour lesquels cela a du sens, on a la relation suivante de conservation de l’énergie entre les domaines temporel et fréquentiel souvent utilisée pour les calculs.

  \[\int_{\mathbb{R}} |x(t)|^2 d t=\int_{\mathbb{R}} |X(f)|^2 d f\]

• Conjugaison :

  \[\operatorname{TF}\left[x^{*}(t)\right]=X^{*}(-f)\]