2.4. Signaux aléatoires stationnaires

2.4.1. Définition

Une classe de signaux très utile pour les applications pratiques regroupe les signaux aléatoires stationnaires au sens large (appelés aussi stationnaires à l’ordre \(2\)) (que nous appellerons par simplicité signaux stationnaires) vérifiant

\[ E[x(t)] = m \quad \textbf{(moyenne indépendante du temps)} \]

et

\[ E[x(t)x^*(t-\tau)] = R_x(\tau) \quad \textbf{(quantité indépendante du temps)}. \]

La première propriété indique que la moyenne probabiliste du signal \(x(t)\) à un instant donné \(t\) ne dépend pas de cet instant \(t\) et est donc égale à une constante notée \(m\), ce qui fait penser à un régime permanent ou à une sorte de stationnarité appelée stationnarité à l’ordre \(1\). La seconde propriété indique que le lien entre \(x(t)\) et \(x(t-\tau)\) (défini par \(E[x(t)x^*(t-\tau)]\), ce qui sera expliqué plus tard) ne dépend que de \(\tau\), qui est la largeur de l’intervalle \(] t- \tau, t[\) ou \(]t , t-\tau[\) (suivant le signe de \(\tau\)). On supposera que \(m\) et \(R_x(\tau)\) sont des quantités bien définies, ce qui est le cas pour les signaux vérifiant

\[ P=E[ |x(t)|^2] < \infty \]

appelés signaux aléatoires à puissance moyenne finie.

Cette classe de signaux admet un produit scalaire

\[\langle u(t), v(t) \rangle = E[ u(t) v^*(t)]\]

qui induit les définitions suivantes

Definition 2.9

• Fonction d’autocorrélation :

  \[R_x(\tau)=\langle x(t), x(t-\tau) \rangle =E[ x(t)x^*(t-\tau)],\]

• Fonction d’intercorrélation :

  \[R_{xy}(\tau) = \langle x(t), y(t-\tau) \rangle =E[x(t) y^*(t-\tau)]\]

• Densité spectrale de puissance :

  \[s_x(f) = \textrm{TF}[R_x(\tau)] = \int_{\mathbb{R}} R_x(\tau) \exp \left(-j 2 \pi f \tau \right) d\tau.\]

Le spectre des signaux aléatoires stationnaires est donc naturellement défini par cette densité spectrale de puissance \(s_x(f)=\textrm{TF}[R_x(\tau)]\) avec \(R_x(\tau)=\langle x(t), x(t-\tau) \rangle =E[ x(t)x^*(t-\tau)]\).

2.4.2. Exemples

Example 2.3 (Sinusoïde.)

\[x(t)= A \cos(2 \pi f_0 t + \theta)\]

\(\theta\) variable aléatoire uniforme sur \([0, 2\pi]\).

• Fonction d’autocorrélation :

  \[R_x(\tau)=\frac{A^2}{2} \cos(2 \pi f_0 \tau)\]

• Densité spectrale de puissance :

  \[s_x(f)=\frac{A^2}{4} \left[ \delta(f-f_0) + \delta(f+f_0)\right]\]

Example 2.4 (Bruit blanc. )

Un bruit blanc vérifie les propriétés suivantes :

• Fonction d’autocorrélation :

  \[R_x(\tau)= \frac{N_0}{2} \delta(\tau)\]

• Densité spectrale de puissance :

  \[s_x(f)= \frac{N_0}{2}\]