2.1. Signaux déterministes à énergie finie

Definition 2.1 (Signaux à energie finie)

On dit qu’un signal à temps continu \(x(t)\) est à énergie finie si

\[E=\int_{- \infty}^{+ \infty} |x(t)|^2dt < \infty.\]

Pour un signal à énergie finie \(x(t)\), on peut définir sa fonction d’autocorrélation \(R_x(\tau)\) et sa densité spectrale d’énergie comme suit

Definition 2.2 (Fonction d’autocorrélation)

\[R_x(\tau)= \int_{\mathbb{R}} x(t)x^*(t-\tau) dt\]

et

Definition 2.3 (Densité spectrale d’énergie)

\[s_x(f) = \textrm{TF}[R_x(\tau)] = \int_{\mathbb{R}} R_x(\tau) \exp \left(-j 2 \pi f \tau \right) d\tau\]

où \(x^*(t)\) désigne le complexe conjugué du signal \(x(t)\). On notera que \(R_x(\tau)\) est le produit scalaire entre les deux signaux \(x(t)\) et \(x(t-\tau)\), i.e., \(R_x(\tau) = \langle x(t), x(t-\tau) \rangle\) si on définit

\[\langle u(t), v(t) \rangle = \int_{\mathbb{R}} u(t) v^*(t) dt\]

qui est le produit scalaire des signaux à énergie finie.

La fonction d’intercorrélation entre deux signaux à énergie finie \(x(t)\) et \(y(t)\) est alors définie par le produit scalaire entre \(x(t)\) et \(y(t-\tau)\), i.e.,

Definition 2.4 (Fonction d’intercorrélation)

\[R_{xy}(\tau) = \langle x(t), y(t-\tau) \rangle = \int_{\mathbb{R}} x(t) y^*(t-\tau) dt\]

On remarquera que \(E=R_x(0)=\langle x(t), x(t) \rangle\).

La densité spectrale d’énergie \(s_x(f)\) est liée à la transformée de Fourier du signal \(x(t)\) notée \(X(f)\) par une relation simple

Property 2.1

\[ s_x(f)= \left| X(f) \right|^2 \]

En effet

\[\begin{split}\begin{aligned} s_x(f)=& \int_{\mathbb{R}} \left[ \int_{\mathbb{R}} x(t) x^*(t-\tau) dt \right] \exp(- j 2 \pi f \tau) d\tau\\ & =\int_{\mathbb{R}} \left[ \int_{\mathbb{R}} x^*(t-\tau) \exp(- j 2 \pi f \tau) d \tau \right] x(t) dt \\ & =\int_{\mathbb{R}} \left[ \int_{\mathbb{R}} x^*(u) \exp \left[j 2 \pi f (u-t)\right] du \right] x(t) dt \\ & = X^*(f) X(f) = \left| X(f) \right|^2 \end{aligned}\end{split}\]

qui montre qu’une densité spectrale est toujours positive et qu’elle est homogène au module carré d’une transformée de Fourier. Tous les signaux déterministes à amplitude bornée dont le support est un intervalle ou une réunion d’intervalles sont à énergie finie. Un exemple classique est la fenêtre rectangulaire de largeur \(T\) notée \(\Pi_T(t)\) définie par

\[\begin{split}x(t)= \Pi_T(t)= \left\{ \begin{array}{l} 1 \; \text{ si } \; -\frac{T}{2}<t<\frac{T}{2}\\ 0 \; \text{ sinon } \end{array} \right.\end{split}\]

qui admet la fonction d’autocorrélation

\[\begin{split}R_x(\tau)=T \Lambda_T(\tau) = \left\{ \begin{array}{l} T \; \text{ si } \; -T<t<T\\ 0 \; \text{ sinon } \end{array} \right.\end{split}\]

et la densité spectrale d’énergie

\[s_x(f)=T^2 \textrm{sinc}^2 (\pi T f) = |X(f)|^2.\]