Signaux déterministes à énergie finie

2.1. Signaux déterministes à énergie finie#

Definition 2.1 (Signaux à energie finie)

On dit qu’un signal à temps continu $x (t)$ est à énergie finie si

E = \int_{- \infty}^{+ \infty} | x (t) |^{2} d t < \infty .

Pour un signal à énergie finie $x (t)$ , on peut définir sa fonction d’autocorrélation $R_{x} (τ)$ et sa densité spectrale d’énergie comme suit

Definition 2.2 (Fonction d’autocorrélation)

R_{x} (τ) = \int_{R} x (t) x^{*} (t - τ) d t

et

Definition 2.3 (Densité spectrale d’énergie)

s_{x} (f) = TF [R_{x} (τ)] = \int_{R} R_{x} (τ) \exp (- j 2 π f τ) d τ

où $x^{*} (t)$ désigne le complexe conjugué du signal $x (t)$ . On notera que $R_{x} (τ)$ est le produit scalaire entre les deux signaux $x (t)$ et $x (t - τ)$ , i.e., $R_{x} (τ) = ⟨ x (t), x (t - τ) ⟩$ si on définit

⟨ u (t), v (t) ⟩ = \int_{R} u (t) v^{*} (t) d t

qui est le produit scalaire des signaux à énergie finie.

La fonction d’intercorrélation entre deux signaux à énergie finie $x (t)$ et $y (t)$ est alors définie par le produit scalaire entre $x (t)$ et $y (t - τ)$ , i.e.,

Definition 2.4 (Fonction d’intercorrélation)

R_{x y} (τ) = ⟨ x (t), y (t - τ) ⟩ = \int_{R} x (t) y^{*} (t - τ) d t

On remarquera que $E = R_{x} (0) = ⟨ x (t), x (t) ⟩$ .

La densité spectrale d’énergie $s_{x} (f)$ est liée à la transformée de Fourier du signal $x (t)$ notée $X (f)$ par une relation simple

Property 2.1

s_{x} (f) = {| X (f) |}^{2}

En effet

\begin{array}{r} \begin{aligned} s_{x} (f) = & \int_{R} [\int_{R} x (t) x^{*} (t - τ) d t] \exp (- j 2 π f τ) d τ \\ = \int_{R} [\int_{R} x^{*} (t - τ) \exp (- j 2 π f τ) d τ] x (t) d t \\ = \int_{R} [\int_{R} x^{*} (u) \exp [j 2 π f (u - t)] d u] x (t) d t \\ = X^{*} (f) X (f) = {| X (f) |}^{2} \end{aligned} \end{array}

qui montre qu’une densité spectrale est toujours positive et qu’elle est homogène au module carré d’une transformée de Fourier. Tous les signaux déterministes à amplitude bornée dont le support est un intervalle ou une réunion d’intervalles sont à énergie finie. Un exemple classique est la fenêtre rectangulaire de largeur $T$ notée $Π_{T} (t)$ définie par

\begin{array}{r} x (t) = Π_{T} (t) = {\begin{cases} 1 si - \frac{T}{2} < t < \frac{T}{2} \\ 0 sinon \end{cases} \end{array}

qui admet la fonction d’autocorrélation

\begin{array}{r} R_{x} (τ) = T Λ_{T} (τ) = {\begin{cases} T si - T < t < T \\ 0 sinon \end{cases} \end{array}

et la densité spectrale d’énergie

s_{x} (f) = T^{2} {sinc}^{2} (π T f) = | X (f) |^{2} .