5.1. Ergodicité

5.1.1. Généralités

Lorsqu’on veut montrer qu’un signal aléatoire \(X(t)\) est stationnaire (au sens large), il faut vérifier que \(E[X(t)]\) et \(E[X(t)X(t-\tau)\) sont deux quantités indépendantes du temps, ce qui nécessite en pratique de calculer des moyennes statistiques à partir de plusieurs réalisations de \(X(t)\) notées \(X^{(i)}(t)\), \(i=1,...,N\) où \(N\) est le nombre de réalisations (appelées parfois trajectoires) de \(X(t)\). Par exemple pour la moyenne, on peut déterminer la moyenne statistique de \(X(t)\) définie par

\[ m(t)= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X^{(i)}(t) \]

avec un nombre de réalisations \(N\) suffisamment grand (pour que \(m(t)\) soit une bonne approximation de \(E[X(t)]\), en vertu de la loi des grands nombres) et vérifier que cette quantité ne fluctue pas trop et peut donc être considérée comme une constante. Mais cette approche nécessite d’avoir à notre disposition plusieurs réalisations de \(X(t)\), ce qui peut être contraignant. Dans les applications pratiques, il est évidemment plus simple de déterminer la moyenne de \(X(t)\) à l’aide d’une moyenne temporelle

\[ \bar{X}_T= \frac{1}{T} \sum_{i=1}^{T} X(t_i) \]

à partir d’une seule réalisation de \(X(t)\), où les instants \(t_i\) sont les instants d’échantillonnage de \(X(t)\). La notion d’ergodicité (au premier ordre pour la moyenne, au second ordre pour la fonction d’autocorrélation, …) précise dans quelles conditions on peut estimer la moyenne statistique de \(X(t)\) à l’aide de sa moyenne temporelle \(\bar{X}_T\).

On dit qu’un signal aléatoire à temps continu \(X(t)\) est ergodique au premier ordre si

\[ Y_{T}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}X(u)du \overset{\textrm{mq}}{\underset{T\to +\infty}{\longrightarrow}} E\left[ X(t)\right] \]

c’est-à-dire si la moyenne temporelle \(Y_T\) converge vers la moyenne statistique \(E\left[ X(t)\right]\) (qui est indépendante de \(t\) pour un signal stationnaire et sera notée \(m\)). On notera que la limite dans l’équation précédente est calculée au sens de la convergence en moyenne quadratique, c’est-à-dire

\[ Y_{T} \overset{\textrm{mq}}{\underset{T\to +\infty}{\longrightarrow}} E\left[ X(t)\right] =m \Leftrightarrow \lim\limits_{T \to \infty} E\left[ (Y_T-m)^2\right] =0. \]

On remarquera que si \(X(t)\) est un signal ergodique au premier ordre, alors

\[ E\left[ X(t)\right] = \lim\limits_{T \to \infty} Y_T \]

et comme cette limite (au sens de la convergence en moyenne quadratique) ne dépend pas de \(t\), le signal \(X(t)\) est nécessairement stationnaire au premier ordre. L’inverse est faux, comme nous le verrons sur certains exemples. La propriété d’ergodicité est donc plus forte que la stationnarité.

5.1.2. Exemples

Example 5.1 (Le secteur)

\[ X(t)=A\cos \left( 2\pi f_{0}t+\theta \right) \]

avec A=2202, f0=50Hz et θ uniformément répartie sur ]0,2π[. Nous savons que le signal X(t) est de moyenne nulle E[X(t)]=0 et de fonction d’autocorrélation E[X(t)X(t−τ)=A22cos⁡(2πf0τ). Le signal X(t) est donc ergodique au premier ordre si

\[ Y_{T}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}X(u)du \overset{\textrm{mq}}{\underset{T\to +\infty}{\longrightarrow}} 0. \]

Mais

\[ \begin{split} Y_{T}&= \frac{1}{T}\int_{0}^{T} A \cos \left( 2\pi f_{0}u+\theta \right) du \ &= \left[ \frac{A \sin \left( 2\pi f_{0}u+\theta \right)} {2 \pi f_0} \right]_{u=0}^{u=T} \ &= \frac{A \sin \left( 2\pi f_{0}T+\theta \right) -A\sin (\theta)} {2 \pi f_0 T} .\label{YT} \end{split} \]

donc

\[ \left| Y_{T} \right| \le \frac{A}{\pi f_0 T} \]

et par suite

\[ E\left[ (Y_T-m)^2\right] = E\left[ Y_T^2\right] \le \frac{A^2}{\pi^2 f_0^2 T^2} \; {\underset{T\to +\infty}{\longrightarrow}} 0. \]

ce qui prouve que le signal X(t) est ergodique au premier ordre.

Example 5.2 (Le carré du secteur)

(5.1)\[\begin{eqnarray} X(t) &=&A \cos ^{2}\left( 2\pi f_{0}t+\theta \right) \ &=&A \left[ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos \left( 4\pi f_{0}t+2\theta \right) \right] \end{eqnarray}\]

où θ est une variable aléatoire uniformément répartie sur ]0,2π[ et A une variable aléatoire de moyenne mA et de variance σA2>0 indépendante de θ. La moyenne de X(t) est alors

\[ E[X(t)] = m = \frac{m_A}{2}. \]

Par ailleurs

\[ \begin{split} Y_{T}&= \frac{A}{2T}\int_{0}^{T} \left[ 1+\cos \left( 4\pi f_{0}u+2\theta \right) \right]du \ &= \frac{A}{2} + \frac{A}{2T} \left[ \frac{\sin \left( 4\pi f_{0}u+2\theta \right)} {4 \pi f_0 } \right]_{u=0}^{u=T} \ &= \frac{A}{2} + \frac{A}{2T} \left[ \frac{\sin \left( 4\pi f_{0}T+2\theta \right) - \sin \left( 2\theta \right)} {4 \pi f_0} \right]. \label{Y2T} \end{split} \]

donc

\[ Y_{T} \overset{\textrm{mq}}{\underset{T\to +\infty}{\longrightarrow}} \frac{A}{2} \neq E[X(t)] = \frac{m_A}{2}. \]

ce qui prouve que le signal X(t) n’est pas ergodique au premier ordre.

Example 5.3 (Autres exemples)

• Amplitude aléatoire

\[ X(t)=V \]

avec V variable aléatoire uniforme sur ]0,V0[ (avec par exemple V0=10 volts).

• Modulation du secteur

\[ Z(t)=X(t) \exp \left( -j2 \pi f_0 t \right) \]

avec X(t)=Acos⁡(2πf0t+θ) le secteur défini ci-dessus.

5.1.3. Théorème

Theorem 5.1

Pour un processus aléatoire stationnaire au sens large X(t) de moyenne E[X(t)]=m, de fonction d’autocorrélation

\[ R_X\left( \tau \right) =E\left[ X(t)X^{\ast }\left( t-\tau \right) \right] \]

et de densité spectrale de puissance

\[s_X(f)=TF\left[ R_{X}\left( \tau \right) \right],\]

on a

\[ Y_{T}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}X(u)du \overset{\textrm{mq}}{\underset{T\to +\infty}{\longrightarrow}} m \Leftrightarrow \Delta S_X\left( 0\right) =\left| m\right| ^{2} \]

avec ΔSX(0)=SX(0+)−SX(0−) et sX(f)=dSX(f)df.

Proof. Comme

\[ E\left[ \left| Y_{T}-m\right| ^{2}\right] =E\left[ Y_{T}Y_{T}^{\ast }\right] -\left| m\right| ^{2} \]

il suffit de montrer que

\[ E\left[ Y_{T}Y_{T}^{\ast }\right] =\Delta S_X\left( 0\right). \]

Par utilisation de l’isométrie fondamentale X(t)↔ej2πft, on a

\[ \begin{split} E\left[ Y_{T}Y_{T}^{\ast }\right] &=\int_{\Bbb{R}}\left| \frac{e^{j2\pi ft}-1}{j2\pi fT}\right| ^{2}s_X(f)df \ &=\int_{-\infty }^{-\frac{1}{\sqrt{T}}}+\int_{-\frac{1}{\sqrt{T}}}^{\frac{1}{\sqrt{T}}}+\int_{\frac{1}{\sqrt{T}}}^{+\infty }\left| \frac{e^{j2\pi fT}-1}{j2\pi fT}\right| ^{2}s_X(f)df \ &=I_{1}+I_{2}+I_{3} \end{split} \]

On exprime alors les trois intégrales comme suit

• Intégrale I3

\[ \begin{split} I_{3} &=\int_{\frac{1}{\sqrt{T}}}^{+\infty }\left| \frac{e^{j2\pi fT}-1}{j2\pi fT}\right| ^{2}s_X(f)df \ &\leq \int_{\frac{1}{\sqrt{T}}}^{+\infty }\frac{4}{4\pi ^{2}f^{2}T^{2}} s_X(f)df \ &\leq \frac{1}{\pi ^{2}T}\int_{\frac{1}{\sqrt{T}}}^{+\infty }s_X(f)df \ &\leq \frac{R_X\left( 0\right) }{\pi ^{2}T} \overset{}{\underset{T\to +\infty}{\longrightarrow}} 0 \end{split} \]

où RX(τ) est la fonction d’autocorrélation du signal X(t).

• Intégrale I1

Résultat similaire après changement de variables u=−f.

• Intégrale I2

\[ I_{2}=\int_{-\frac{1}{\sqrt{T}}}^{\frac{1}{\sqrt{T}}}\left| \frac{e^{j2\pi fT}-1}{j2\pi fT}\right| ^{2}dS_X(f) \]

On pose

\[ \widetilde{S}_X\left( f\right) =\left\{ \begin{array}{c} S_X(f)\qquad f<0 \ S_X\left( f\right) -\Delta S_X\left( 0\right) \qquad f\geq 0 \end{array} \right. \]

Par construction, en notant U(f) l’échelon de Heaviside, la fonction \(\widetilde{S}_X\left( f\right) =S_X\left( f\right) -\Delta S_X\left( 0\right) U(f)estcontinueenf=0\). Alors :

\[ \begin{split} I_{2} &= \int_{-\frac{1}{\sqrt{T}}}^{\frac{1}{\sqrt{T}}}\left| \frac{e^{j2\pi fT}-1}{j2\pi fT}\right| ^{2}dS_X(f) \ &=\Delta S_X\left( 0\right) +\int_{-\frac{1}{\sqrt{T}}}^{\frac{1}{\sqrt{T}}}\left| \frac{e^{j2\pi fT}-1}{j2\pi fT}\right|^{2}d\widetilde{S}_X(f) \end{split} \]

Puisque pour x>0, on a

\[ \begin{array}{c} \left| \int_{0}^{x}e^{iu}du\right| &\leq &\int_{0}^{x}\left| e^{iu}\right| du=x \ \left| e^{ix}-1\right| &\leq &x, \end{array} \]

on en déduit

\[ \begin{split} I_{2}-\Delta S_X\left( 0\right) &=\int_{-\frac{1}{\sqrt{T}}}^{\frac{1}{\sqrt{T }}}\left| \frac{e^{j2\pi fT}-1}{j2\pi fT}\right| ^{2}d\widetilde{S}_X(f) \ &\leq \int_{-\frac{1}{\sqrt{T}}}^{\frac{1}{\sqrt{T}}}d\widetilde{S}_X(f)= \widetilde{S}_X\left(\tfrac{1}{\sqrt{T}}\right)-\widetilde{S}_X\left(-\tfrac{1}{\sqrt{T}}\right) \end{split} \]

Par continuité de S~X(f) et par passage à la limite T⟶+∞, on en déduit

\[ I_{2}= \Delta S_X\left( 0\right). \]

Example 5.4 (Le secteur)

Puisque E[X(t)]=0, il suffit de vérifier que ΔSX(0)=0, ce qui est immédiat. En effet, puisque E[X(t)X(t−τ)=A22cos⁡(2πf0τ), la densité spectrale de puissance de X(t) est

\[ s_X(f)=\frac{A^2}{4} \left[ \delta(f- f_{0}) + \delta(f+ f_{0}) \right] \]

et son intégrale s’écrit

\[ S_X(f)=\frac{A^2}{4} \left[ U(f- f_{0}) + U(f+ f_{0}) \right], \]

d’où

\[ \Delta S_X\left( 0\right) =0. \]

Ceci confirme que le secteur est un signal ergodique au premier ordre.

Example 5.5 (Le carré du secteur)

La fonction d’autocorrélation du carré du secteur est

\[ E[X(t)X(t-\tau)] = \frac{E[A^2]}{4} E \left \{ [1+\cos(4 \pi f_0 t +2 \theta)] [1+\cos(4 \pi f_0 t-4 \pi f_0 \tau +2 \theta)] ]\right \} \]

\[ \begin{split} E[X(t)X(t-\tau)] & = \frac{E[A^2]}{4} E \left \{ [1+\cos(4 \pi f_0 t +2 \theta)] [1+\cos(4 \pi f_0 t-4 \pi f_0 \tau +2 \theta)] ]\right \} \ &= \frac{E[A^2]}{4} + \frac{E[A^2]}{8} \cos(4 \pi f_0 \tau), \end{split} \]

d’où la densité spectrale de puissance

\[ s_X(f) = \frac{E[A^2]}{4}\delta(f) + \frac{E[A^2]}{16} \delta(f-2f_0) + \frac{E[A^2]}{16} \delta(f+2f_0) \]

et son intégrale

\[ S_X(f) = \frac{E[A^2]}{4} U(f) + \frac{E[A^2]}{16} U(f-2f_0) + \frac{E[A^2]}{16} U(f+2f_0). \]

On en déduit

\[ \Delta S_X\left( 0\right)-m^2 = \frac{E[A^2]}{4} -\frac{m_A^2}{4}=\frac{\sigma_A^2}{4} \]

qui est différent de 0 lorsque A est une variable aléatoire (non constante). Ceci confirme que le carré du secteur est un signal non ergodique.

5.1.4. Résultats intéressants

• Un signal aléatoire \(x(t)\) est ergodique au premier ordre si et seulement si

\[ \frac{1}{T} \int_0^T c_X(\tau) d \tau \overset{}{\underset{T\to +\infty}{\longrightarrow}} 0 \]

où \(c_X(\tau) = E[X(t)X^{*}(t-\tau)] - \left| m\right| ^{2}\) est l’autocovariance de \(X(t)\).

• Condition suffisante d’ergodicité au premier ordre :

si \(c_X(\tau) \overset{}{\underset{\tau \to +\infty}{\longrightarrow}} 0\), alors \(x(t)\) est ergodique au premier ordre.

Les preuves de ces résultats sont disponibles dans le livre de Papoulis [Papoulis and Pillai, 2002] (voir Eq. (12.7) p. 526 et Eq. (12.10) p. 527).