5.2. Filtrage adapté

5.2.1. Définition

L’objectif du filtre adapté (matched filter en Anglais) est de débruiter un signal déterministe connu noyé dans un bruit additif. On suppose donc qu’on observe le signal \(x(t)\) défini par

\[ x(t)=s(t)+n(t),\qquad t\in \left[ 0,T\right] \]

où \(s(t)\) est un signal déterministe à énergie finie connu et \(n(t)\) est un signal aléatoire stationnaire de moyenne nulle et de densité spectrale de puissance \(s_n(f)\). On cherche à débruiter le signal \(x(t)\) à l’aide d’un filtre de réponse impulsionnelle \(h(t)\) et de transmittance \(H(f)\). La sortie de ce filtre est définie par

\[ y(t) =y_{s}(t)+y_{n}(t) =s(t)\ast h(t)+n(t)\ast h(t). \]

Le filtre adapté (au signal \(s(t)\) connu) est obtenu en maximisant le rapport signal sur bruit

\[ \text{SNR}(t_{0})=\frac{y_{s}^{2}(t_{0})}{E\left[ y_{n}^{2}(t_{0})\right] } \]

qui est le rapport des puissances du signal \(y_s\) et du signal \(y_n\) à l’instant de décision \(t_0\) (le choix de \(t_0\) sera discuté plus tard).

5.2.2. Expression du filtre

Des calculs élémentaires permettent d’obtenir l’expression suivante du rapport signal sur bruit

\[ \text{SNR}(t_{0})=\frac{y_{s}^{2}(t_{0})}{E\left[ y_{n}^{2}(t_{0})\right] }=\frac{% \left| \int_{\Bbb{R}}H(f)S(f)e^{j2\pi ft_{0}}df\right| ^{2}}{\int_{\Bbb{R}% }\left| H(f)\right| ^{2}s_{n}(f)df} \]

En effet

• Numérateur

\[ y_{s}(t)=\text{TF}^{-1}\left[ S(f)H(f)\right] =\int_{\Bbb{R}}H(f)S(f)e^{j2\pi ft}df \]

• Dénominateur

\[ P_{y_{n}} =E\left[ y_{n}^{2}(t_{0})\right] =R_{y_{n}}\left( 0\right) =\int_{\Bbb{R}}s_{n}(f)\left| H(f)\right| ^{2}df \]

En introduisant les notations \(a(f)=\sqrt{s_{n}(f)}H(f)\) et \(b(f)=\frac{S^{\ast }(f)}{\sqrt{s_{n}(f)}}e^{-j2\pi ft_{0}}\), on obtient

\[ \text{SNR}(t_{0})=\frac{\left| \int_{\Bbb{R}}a(f)b^{\ast }(f)df\right| ^{2}}{\int_{\Bbb{R} }a(f)a^{\ast }(f)df} \]

et donc en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwartz, on obtient

\[ \text{SNR}(t_{0}) \le \int_{\Bbb{R}}b(f)b^{\ast }(f)df \]

avec égalité lorsque

\[ a(f)= k b(f) \Leftrightarrow H(f)=k\dfrac{S^{\ast }(f)}{s_{n}(f)}e^{-j2\pi ft_{0}}. \]

Dans le cas particulier d’un \textcolor{red}{bruit blanc}, on obtient

\[ H(f)=KS^{\ast }(f)e^{-j2\pi ft_{0}} \Leftrightarrow \boxed{ h(t)=Ks^{\ast }\left( t_{0}-t\right)} \]

ce qui correspond à une symétrie par rapport à l’axe oy de \(s(t)\) suivi d’une translation de \(t_0\).

5.2.3. SNR maximum

Le rapport signal sur bruit maximum est défini par

\[ \text{SNR}(t_{0})^{\max } =\int_{\Bbb{R}}b(f)b^{\ast }(f)df =\int_{\Bbb{R}}\frac{2}{N_{0}}\left| S(f)\right| ^{2}df=\frac{2E}{N_{0}} \]

où \(E\) est l’énergie du signal. On voit donc que le le rapport signal à bruit maximal ne dépend pas de la forme du signal mais uniquement de son énergie.

5.2.4. Applications

Le filtre adapté est utilisé dans tout récepteur d’un système de communication numérique. Dans cette application, on connait les signaux \(s_0(t)\) et \(s_1(t)\) qui sont utilisés pour la mise en forme des bits ‘0’ et ‘1’. Lorsqu’on a \(s_1(t)=-s_0(t)\) (ce qui est le cas par exemple pour la mise en forme du signal biphase), le filtre adapté à \(s_0(t)\) est aussi adapté à \(s_1(t)\). Cette application est illustrée sur la figure ci-dessous issue de la page wikipedia sur le filtre adapté (matched filter en Anglais)

5.2.5. Référence

Pour plus de détails concernant le filtre adapté, le lecteur pourra consulter le livre de Picinbono [Picinbono, 1993].