4.2. Cas des signaux aléatoires

L’objectif de cette partie est d’expliquer comment on peut déterminer la fonction d’autocorrélation et la densité spectrale de puissance d’un signal défini par une transformée non-linéaire sans mémoire \(g\) d’un signal aléatoire stationnaire \(x(t)\). Comme nous allons le voir, l’outil fondamental pour cette détermination est le théorème de Price qui est résumé ci-dessous (dans sa version la plus simple).

4.2.1. Théorème de Price

Theorem 4.1 (Théorème de Price.)

Pour tout vecteur Gaussien centré \((X_1,X_2)\), on a pour toute fonction non-linéaire \(g\)

\[ \frac{\partial E(Y_1 Y_2) }{\partial E(X_1 X_2)} = E \left( \frac{\partial Y_1}{\partial X_1} \frac{\partial Y_2}{\partial X_2} \right) \]

avec \(Y_1=g(X_1)\) et \(Y_2=g(X_2)\) (pour la preuve, on pourra par exemple consulter [Solaiman, 2006].

En considérant \(X_1=x(t)\), \(X_2=x(t-\tau)\), on a \(Y_1=y(t)=g[x(t)]\), \(Y_2=y(t-\tau)=g[x(t-\tau)]\) et donc

\[ \frac{\partial R_y(\tau) }{\partial R_x(\tau)} = E \left[ \frac{\partial y(t)}{\partial x(t)} \frac{\partial y(t-\tau)}{\partial x(t-\tau)} \right]. \]

On remarquera que la relation ci-dessus utilise implicitement le fait que \(y(t)=g[x(t)]\) est un signal aléatoire stationnaire, ce qui découle du fait que \(\boldsymbol{x} = (x(t),x(t-\tau))^T\) est un vecteur Gaussien centré de matrice de covariance notée \(\Sigma\). En effet

(4.1)\[\begin{equation} E\left[ Y(t) Y(t-\tau) \right] = \int \int g\left( x_1 \right) g\left( x_2 \right) p\left( x_1, x_2 \right) d x_1 dx_2 \label{stat} \end{equation}\]

avec \(x_1=X(t)\), \(x_2=X(t-\tau)\) et

\[ p(x_1,x_2) = \frac{1}{2 \pi \sqrt{|\Sigma|}} \exp \left( -\frac{1}{2} \boldsymbol{x}^T \Sigma^{-1} \boldsymbol{x} \right) \]

avec

\[\begin{split} \Sigma = \begin{pmatrix} R_X(0) & R_X(\tau) \\ R_X(\tau) & R_X(0) \end{pmatrix}\end{split}\]

En injectant \(p(x_1,x_2)\) et \(\Sigma\) dans \eqref{stat}, on en déduit que \(E\left[ Y(t) Y(t-\tau) \right]\) dépend uniquement de \(R_x(\tau)\) et de \(R_x(0)\) et ne dépend donc pas de \(t\). De même

\[ E\left[ Y(t) \right] = \int g\left( x_1 \right) p\left( x_1, . \right) d x_1 \]

où \(p(x_1,.)\) est la densité de \(x_1=x(t)\) définie par

\[ p(x_1,.)= \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi \sigma_1^2}} \exp \left( -\frac{x_1^2}{2 \sigma_1^2} \right). \]

Comme \(\sigma_1^2=\text{var}[x(t)]=R_x(0)\), on en déduit que \(E\left[ Y(t) \right]\) ne dépend que de \(R_x(0)\) et donc ne dépend pas de \(t\).

4.2.2. Exemple d’application : le quadrateur

Dans le cas où \(y(t)=x^2(t)\), l’application du théorème de Price permet d’obtenir

\[ \frac{\partial R_y(\tau) }{\partial R_x(\tau)} = E \left[ \frac{\partial y(t)}{\partial x(t)} \frac{\partial y(t-\tau)}{\partial x(t-\tau)} \right]= 4E[x(t)x(t-\tau)]=4R_x(\tau). \]

Cette équation s’intègre et conduit à

\[ R_y(\tau)=2 R^2_x(\tau) + K \]

où \(K\) est une constante qui peut par exemple se déterminer en considérant la valeur particulière \(\tau=0\) :

\[ K=R_y(0)-2R^2_x(0). \]

La détermination de \(R_y(0)=E[x^4(t)]\) se fait simplement si on connait l’expression des moments d’une loi gaussienne centrée \(X\)

\[ E \left( X^{2n+1} \right) = 0, \; E \left( X^{2n} \right) = [(2n-1) \times (2n-3) ... \times 3 \times 1] \sigma^{2n}. \]

On obtient donc

\[ E[x^2(t)]=\sigma^2 =R_x(0) \quad \text{et} \quad E[x^4(t)]=3 \sigma^4 =3R^2_x(0) \]

d’où \(K=R_x^2(0)\).

Remark 4.1

pour déterminer la constante \(K\), on peut aussi utiliser le fait que pour un signal gaussien centré, \(x(t)\) et \(x(t-\tau)\) sont asymptotiquement (i.e., quand \(\tau \to \infty\)) décorrélés, et donc asymptotiquement indépendants, d’où

\[ \lim\limits_{\tau \to \infty} R_x(\tau)=0 \quad \text{et} \quad \lim\limits_{\tau \to \infty} E[x^2(t) x^2(t-\tau)] =R_x^2(0). \]

4.2.3. Autre exemple d’application : Théorème de Van Vleck

L’application du théorème de Price est parfois plus compliquée que dans l’exemple précédent, comme nous allons le voir dans cet exemple où \(y(t) = \text{sign}[x(t)]\) (la fonction \(\text{sign}(x)\) vaut \(1\) pour \(x>0\), \(-1\) pour \(x<0\) et par convention \(\text{sign}(0)=0\)). Dans cet exemple, le théorème de Price permet d’obtenir

\[ \frac{\partial R_y(\tau) }{\partial R_x(\tau)} = E \left[ \frac{\partial y(t)}{\partial x(t)} \frac{\partial y(t-\tau)}{\partial x(t-\tau)} \right]= 4E\{ \delta[x(t)] \delta[x(t-\tau)] \}. \]

Pour déterminer \(R_y(\tau)\), il faut déterminer le second membre de cette équation, ce qui se fait comme suit

\[ E\{ \delta[x(t)] \delta[x(t-\tau)] \} = \int \int \delta[x_1] \delta[x_2] p(x_1,x_2) dx_1 dx_2. \]

d’où

\[ E\{ \delta[x(t)] \delta[x(t-\tau)] \} = \int \int \delta[x_1] \delta[x_2] p(0,0) dx_1 dx_2=p(0,0) = \frac{1}{2 \pi \sqrt{|\Sigma|}}. \]

On en conclut

\[ \frac{\partial R_y(\tau) }{\partial R_x(\tau)} =\frac{4}{2 \pi \sqrt{R_x^2(0)-R_x^2(\tau)}} \]

qui s’intègre pour donner

\[ R_y(\tau)=\frac{2} {\pi} \text{Arcsin} \left[ \frac{R_x(\tau)}{R_x(0)} \right] + K. \]

La constante \(K\) s’obtient en faisant \(K=0\), i.e.

\[ K = R_y(0)-\frac{2}{\pi} \text{Arcsin}(1)=R_y(0)-1. \]

Mais

\[ R_y(0)=E[y^2(t)]=1 \]

d’où \(K=0\) et

\[ \boxed{R_y(\tau)=\frac{2} {\pi} \text{Arcsin} \left[ \frac{R_x(\tau)}{R_x(0)} \right]}. \]