3.1. Systèmes à temps continu: définitions et propriétés

3.1.1. Système à temps continu

Dans un cadre déterministe, un système à temps continu est un opérateur \(T\) qui associe une fonction \(y\) à une fonction d’entrée \(x,\) ie. \(y=T[x]\) avec

\[y(t)=T[x(t)], \forall t \in \mathbb{R}.\]

Les entrées et sorties de ce système seront typiquement dans \(\mathcal{L}_{+\infty}(\mathbb{R})\) ou \(\mathcal{L}_{2}(\mathbb{R}).\)

3.1.2. Système linéaire

Un système sera dit linéaire s’il vérifie \(\forall a_1,a_2 \in \mathbb{C},\)

\[T\left[a_{1} x_{1}(t)+a_{2} x_{2}(t)\right]=a_{1} T\left[x_{1}(t)\right]+a_{2} T\left[x_{2}(t)\right].\]

3.1.3. Système sans mémoire

Un système sera dît sans mémoire si sa sortie à l’instant \(t\) ne dépend que de l’entrée au même instant.

3.1.4. Système causal

Un système est dit causal si la sortie à l’instant \(t\) ne dépend de l’entrée que pour des instants \(t'\leq t\), i.e., la sortie un instant donné ne dépend pas d’un instant futur. Cette propriété est souvent requise pour qu’un système physique analogique soit réalisable. Cependant nous verrons que pour un signal numérique, cette contrainte peut être contournée car si le système est non causal cela suppose juste que le système peut être réalisable au prix d’un délai de traitement avec stockage des échantillons.

3.1.5. Système invariant par décalage

Un système est dit invariant par décalage ou encore invariant dans le temps s’il vérifie la relation suivante:

\[\text {Si } y(t)=T[x(t)] \text { alors } T\left[x\left(t-t_{0}\right)\right]=y\left(t-t_{0}\right).\]

Cela signifie que si l’entrée du système est translatée dans le temps, la sortie l’est également du même décalage.

3.1.6. Système stable : caractérisation générale

Un système est dit stable si une entrée bornée produit une sortie bornée, i.e., si

\[x \in \mathcal{L}_{\infty}(\mathbb{R}) \Rightarrow y=T[x] \in \mathcal{L}_{\infty}(\mathbb{R})\]

ce qui signifie que si \(|x(t)| \leq M_{x}\) alors il existe \(M_{y}\) tel que $\(|y(t)|=|T[x(t)]| \leq M_{y}.\)$ Cette caractérisation est la plus générale et s’applique quel soit le type de système, linéaire, non linéaire, … On verra pour les systèmes linéaires que cette caractérisation peut s’affiner.

Exercise 3.1

Pouvez-vous donner les caractéristiques des systèmes suivants et identifier l’opérateur \(T[.]?\)

1. Système à décalage : \(y(t)=x(t-t_0), t \in \mathbb{R}.\) À quelle condition le système est-il causal?

2. Intégrateur : \(y(t)=\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d \tau, \quad t \in \mathbb{R}.\)

3. Moyenneur : \(y(t)=\frac{1}{T} \int_{t-T / 2}^{t+T / 2} x(\tau) d \tau, \quad t \in \mathbb{R}.\)

4. Quadrateur : \(y(t)=|x(t)|^2, \quad t \in \mathbb{R}.\)