2.2. Signaux déterministes périodiques à puissance finie

Definition 2.5 (Signaux déterministes périodiques à puissance finie. )

On dit qu’un signal à temps continu \(x(t)\) est à puissance finie péridodique de période \(T_0\) si \(x(t+T_0)=x(t), \forall t\) (périodicité de période \(T_0\)) et si

\[P=\frac{1}{T_0} \int_{- \frac{T_0}{2}}^{ \frac{T_0}{2}} |x(t)|^2dt < \infty\]

Par ailleurs, si \(x(t)\) est à puissance finie périodique, alors son énergie est infinie. On peut définir un produit scalaire pour les signaux périodiques à puissance finie comme suit

\[\langle u(t), v(t) \rangle = \frac{1}{T_0} \int_{- \frac{T_0}{2}}^{ \frac{T_0}{2}} u(t) v^*(t) dt.\]

Il est donc assez naturel de définir les fonctions d’autocorrélation et d’intercorrélation et la densité spectrale de puissance d’un signal périodique à puissance finie comme suit :

Definition 2.6

• Fonction d’autocorrélation :

  \[R_x(\tau)=\langle x(t), x(t-\tau) \rangle = \frac{1}{T_0} \int_{- \frac{T_0}{2}}^{ \frac{T_0}{2}} x(t)x^*(t-\tau) dt\]

• Fonction d’intercorrélation :

\[R_{xy}(\tau) = \langle x(t), y(t-\tau) \rangle = \frac{1}{T_0} \int_{- \frac{T_0}{2}}^{ \frac{T_0}{2}} x(t) y^*(t-\tau) dt\]

• Densité spectrale de puissance :

  \[s_x(f) = \textrm{TF}[R_x(\tau)] = \int_{\mathbb{R}} R_x(\tau) \exp \left(-j 2 \pi f \tau \right) d\tau.\]

La densité spectrale de puissance d’un signal déterministe périodique à puissance finie de période \(T_0\) est liée à sa décomposition en série de Fourier par la relation simple

\[ s_x(f)= \sum_{k \in \mathbb{Z}} |c_k|^2 \delta(f-kf_0) \]

où les coefficients \(c_k\) apparaissent dans la décomposition en série de Fourier de \(x(t)\) donnée par

\[x(t)=\sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k \exp(j 2 \pi k f_0 t).\]

La relation précédente relation montre que la densité spectrale de puissance d’un signal déterministe périodique à puissance finie est un spectre de raies avec des amplitudes positives qui sont les modules carrés des coefficients \(c_k\). Elle se démontre comme suit

\[\begin{split}\begin{aligned} R_x(\tau)=& \sum_{k,l} c_k c_l^* \exp \left(j 2 \pi l f_0 \tau \right) \left[\frac{1}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2} \exp \left[j 2 \pi (k - l) f_0 t \right]dt \right] \\ & =\sum_k |c_k|^2 \exp(j 2 \pi k f_0 \tau) \end{aligned}\end{split}\]

et donc

\[s_x(f)= \text{TF}[R_x(\tau)] = \sum_k |c_k|^2 \ \text{TF} \left[ \exp(j 2 \pi k f_0 \tau) \right]=\sum_{k \in \mathbb{Z}} |c_k|^2 \delta(f-kf_0).\]

Example 2.1

Un exemple classique appelé parfois le secteur est le signal défini par

\[x(t)= A \cos(2 \pi f_0 t)\]

avec \(A=220 \sqrt{2}\) et \(f_0=50\) Hz qui est un signal périodique de période \(T_0=\frac{1}{f_0}\). Ce signal admet comme fonction d’autocorrélation

\[R_x(\tau)=\frac{A^2}{2} \cos(2 \pi f_0 \tau)\]

qui est une fonction périodique de même période que \(x(t)\) et qui admet la densité spectrale de puissance

\[s_x(f)=\frac{A^2}{4} \left[ \delta(f-f_0) + \delta(f+f_0)\right].\]