Signaux déterministes périodiques à puissance finie

2.2. Signaux déterministes périodiques à puissance finie#

Definition 2.5 (Signaux déterministes périodiques à puissance finie. )

On dit qu’un signal à temps continu x(t) est à puissance finie péridodique de période T0 si x(t+T0)=x(t),t (périodicité de période T0) et si

P=1T0T02T02|x(t)|2dt<

Par ailleurs, si x(t) est à puissance finie périodique, alors son énergie est infinie. On peut définir un produit scalaire pour les signaux périodiques à puissance finie comme suit

u(t),v(t)=1T0T02T02u(t)v(t)dt.

Il est donc assez naturel de définir les fonctions d’autocorrélation et d’intercorrélation et la densité spectrale de puissance d’un signal périodique à puissance finie comme suit :

Definition 2.6

  • Fonction d’autocorrélation :

    Rx(τ)=x(t),x(tτ)=1T0T02T02x(t)x(tτ)dt
  • Fonction d’intercorrélation :

Rxy(τ)=x(t),y(tτ)=1T0T02T02x(t)y(tτ)dt
  • Densité spectrale de puissance :

    sx(f)=TF[Rx(τ)]=RRx(τ)exp(j2πfτ)dτ.

La densité spectrale de puissance d’un signal déterministe périodique à puissance finie de période T0 est liée à sa décomposition en série de Fourier par la relation simple

sx(f)=kZ|ck|2δ(fkf0)

où les coefficients ck apparaissent dans la décomposition en série de Fourier de x(t) donnée par

x(t)=kZckexp(j2πkf0t).

La relation précédente relation montre que la densité spectrale de puissance d’un signal déterministe périodique à puissance finie est un spectre de raies avec des amplitudes positives qui sont les modules carrés des coefficients ck. Elle se démontre comme suit

Rx(τ)=k,lckclexp(j2πlf0τ)[1T0T0/2T0/2exp[j2π(kl)f0t]dt]=k|ck|2exp(j2πkf0τ)

et donc

sx(f)=TF[Rx(τ)]=k|ck|2 TF[exp(j2πkf0τ)]=kZ|ck|2δ(fkf0).

Example 2.1

Un exemple classique appelé parfois le secteur est le signal défini par

x(t)=Acos(2πf0t)

avec A=2202 et f0=50 Hz qui est un signal périodique de période T0=1f0. Ce signal admet comme fonction d’autocorrélation

Rx(τ)=A22cos(2πf0τ)

qui est une fonction périodique de même période que x(t) et qui admet la densité spectrale de puissance

sx(f)=A24[δ(ff0)+δ(f+f0)].