Signaux déterministes périodiques à puissance finie

2.2. Signaux déterministes périodiques à puissance finie#

Definition 2.5 (Signaux déterministes périodiques à puissance finie. )

On dit qu’un signal à temps continu $x (t)$ est à puissance finie péridodique de période $T_{0}$ si $x (t + T_{0}) = x (t), \forall t$ (périodicité de période $T_{0}$ ) et si

P = \frac{1}{T_{0}} \int_{- \frac{T_{0}}{2}}^{\frac{T_{0}}{2}} | x (t) |^{2} d t < \infty

Par ailleurs, si $x (t)$ est à puissance finie périodique, alors son énergie est infinie. On peut définir un produit scalaire pour les signaux périodiques à puissance finie comme suit

⟨ u (t), v (t) ⟩ = \frac{1}{T_{0}} \int_{- \frac{T_{0}}{2}}^{\frac{T_{0}}{2}} u (t) v^{*} (t) d t .

Il est donc assez naturel de définir les fonctions d’autocorrélation et d’intercorrélation et la densité spectrale de puissance d’un signal périodique à puissance finie comme suit :

Definition 2.6

Fonction d’autocorrélation :

$R_{x} (τ) = ⟨ x (t), x (t - τ) ⟩ = \frac{1}{T_{0}} \int_{- \frac{T_{0}}{2}}^{\frac{T_{0}}{2}} x (t) x^{*} (t - τ) d t$
Fonction d’intercorrélation :

R_{x y} (τ) = ⟨ x (t), y (t - τ) ⟩ = \frac{1}{T_{0}} \int_{- \frac{T_{0}}{2}}^{\frac{T_{0}}{2}} x (t) y^{*} (t - τ) d t

Densité spectrale de puissance :

$s_{x} (f) = TF [R_{x} (τ)] = \int_{R} R_{x} (τ) \exp (- j 2 π f τ) d τ .$

La densité spectrale de puissance d’un signal déterministe périodique à puissance finie de période $T_{0}$ est liée à sa décomposition en série de Fourier par la relation simple

s_{x} (f) = \sum_{k \in Z} | c_{k} |^{2} δ (f - k f_{0})

où les coefficients $c_{k}$ apparaissent dans la décomposition en série de Fourier de $x (t)$ donnée par

x (t) = \sum_{k \in Z} c_{k} \exp (j 2 π k f_{0} t) .

La relation précédente relation montre que la densité spectrale de puissance d’un signal déterministe périodique à puissance finie est un spectre de raies avec des amplitudes positives qui sont les modules carrés des coefficients $c_{k}$ . Elle se démontre comme suit

\begin{array}{r} \begin{aligned} R_{x} (τ) = & \sum_{k, l} c_{k} c_{l}^{*} \exp (j 2 π l f_{0} τ) [\frac{1}{T_{0}} \int_{- T_{0} / 2}^{T_{0} / 2} \exp [j 2 π (k - l) f_{0} t] d t] \\ = \sum_{k} | c_{k} |^{2} \exp (j 2 π k f_{0} τ) \end{aligned} \end{array}

et donc

s_{x} (f) = TF [R_{x} (τ)] = \sum_{k} | c_{k} |^{2} TF [\exp (j 2 π k f_{0} τ)] = \sum_{k \in Z} | c_{k} |^{2} δ (f - k f_{0}) .

Example 2.1

Un exemple classique appelé parfois le secteur est le signal défini par

x (t) = A \cos (2 π f_{0} t)

avec $A = 220 \sqrt{2}$ et $f_{0} = 50$ Hz qui est un signal périodique de période $T_{0} = \frac{1}{f_{0}}$ . Ce signal admet comme fonction d’autocorrélation

R_{x} (τ) = \frac{A^{2}}{2} \cos (2 π f_{0} τ)

qui est une fonction périodique de même période que $x (t)$ et qui admet la densité spectrale de puissance

s_{x} (f) = \frac{A^{2}}{4} [δ (f - f_{0}) + δ (f + f_{0})] .