1.2. Produit de convolution

1.2.1. Définition

Definition 1.1 (Produit de Convolution)

Le produit de convolution est défini (quand il existe) par

\[ y(t)=(h * x)(t)=h(t)*x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) d \tau=\int_{-\infty}^{\infty} x(t-\tau) h(\tau) d \tau \]

1.2.2. Propriétés

• Commutativité :

  \[h * x=x * h\]

• Associativité :

  \[g *(h * x)=g * h * x=(g * h) * x\]

• Lien avec le produit scalaire :

  \[(h * x)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) d \tau=\left\langle x(\tau), h^{*}(t-\tau)\right\rangle_{\tau}\]

• Autocorrélation déterministe :

  On définira plus tard plus tard l’autocorrélation déterministe comme

  \[R_{x}(\tau)=\int_{\mathbb{R}} x(t) x^{*}(t-\tau) d t.\]

  On peut alors montrer que

  \[R_{x}(\tau)= \langle x(t),x(t-\tau) \rangle=x(\tau)*x^*(-\tau).\]